Une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3

Énoncé

1. Calculer \(4n+3\) pour \(n\) compris entre \(0\) et \(20\) .

On veut montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme \(4n+3\) , c'est-à-dire une infinité de nombres premiers congrus à \(3\) modulo \(4\) .

Pour cela, on raisonne par l'absurde, et on suppose qu'il en existe un nombre fini :
\(3 où les  \(p_i\)  sont des    nombres premiers congrus à \(3\) modulo \(4\) .

On pose  \(N=4p_1p_2...p_k+3\) .

2. Soit \(q\) un nombre premier divisant \(N\) .
    a. Montrer que \(q\) est impair. En déduire les entiers possibles congrus à \(q\) modulo \(4\) .
    b. Montrer que \(q \equiv 1 \ [4]\) .

3. En étudiant les congruences de \(N\) modulo \(4\) , aboutir à une contradiction et conclure.